随机事件与概率——全概率公式和贝叶斯公式

前情提要：一些符号含义回顾

⊆是包含于符号：A包含于B，则A为B的子集或等于B。

⫋是真包含符号：A真包含于B，则A为B的真子集，若B={1，2}，则A={1}或{2}或空集。

⊂是包含于符号，和⊆的区别是：A包含于B，则A为B的子集（少了“等于B”）。

符号开口方向向左和向右表示包含和包含于的关系，即开口朝向有包含能力的一方

例如：⊇是包含符号：A包含B-则B为A的子集或等于A。

随机事件及其概率

频率：发生事件观察单位数比上可能发生事件观察单位总数的值

重要性质：频率随n逐渐增大而稳定为p概率

样本空间：所有可能结果构成的集合，记为

元素e被称为样本点

随机事件：样本空间S的子集A称随机事件A，当且仅当A中某样本点发生称事件A发生

概率的性质及运算公式

加法公式：

如果AB互不相容，即AB=空集，则有

乘法公式：或条件概率

即B发生条件下A发生的概率

若AB互不相容，则P（AB）=0

若AB互相独立，则

全概率公式与贝叶斯公式

全概率公式

贝叶斯公式

完备事件组：

事件组A_1, A_2, ..., A_n必发生其中之一且两两互不相容。 即样本空间的一个“划分”

重要例题

某疾病，发病率0.0004.

有机器可以检查，但也有概率检测不出，或假阳性

患病者每次检验结果99%阳性

没患病的健康人99.9%阴性

question1: 现在有一个人检测为阳，求患病概率

question2: 若此人第二次检测仍阳，求患病概率

题目分析：

可以列表分析机器结果阴阳和人患病与否，直观便捷

则P（机器+）的概率为0.0004 x 99% + 0.1% x ( 1 - 0.0004 )

解答：

• question1:

即在机器测出阳的条件下，测试者真为患病人的概率

利用贝叶斯公式：

分母为P（机器+），分子则为P（真阳）=0.0004 x 99%

计算得概率为0.28

• question2:

此问只需把上一问中的0.0004替换为0.28即可简单求解